16+
Выходит с 1995 года
29 марта 2024
Психологические механизмы решения текстовых задач по математике

Психологические механизмы решения задач в течение последних ста лет выступают в психологии мышления темой острых теоретических и экспериментальных дискуссий. Особенно горячо они обсуждались применительно к задачам, имеющим массовое распространение и высокую педагогическую значимость (например, текстовым задачам по арифметике и алгебре) – существующие теоретические позиции здесь исчисляются десятками, а соответствующие публикации – сотнями2. Отношение к этим проблемным ситуациям характеризуется определенной двойственностью. С одной стороны, они обладают всеми чертами мыслительной задачи и хорошо соответствуют известному определению А.Н. Леонтьева (1965)3, с другой стороны, – обладают нормативным («культурным») способом решения (скажем, сводятся к составлению уравнения определенного вида), который известен заранее, что автоматически обесценивает их, превращая в нетворческие, или вообще лишает статуса задачи, сводя к материалу для отработки того или иного интеллектуального навыка.

Кажется, что подобная невысокая оценка связана с недостаточным пониманием природы и универсального характера трудностей, которые ставят перед решателем проблемные ситуации этого типа, и – как следствие, – довольно наивными теоретическими воззрениями на процесс их решения. Цель данной статьи состоит в том, чтобы описать психологические механизмы, необходимые для успешного решения текстовых задач по арифметике и алгебре, т.е. выявить и проанализировать морфологию мыслительного процесса в этих случаях и систематизировать некоторые известные и вновь полученные факты, касающиеся процесса решения.

1. Факты и комментарии

Разговор о психологических механизмах решения задач хотелось бы начать с нескольких принципиальных экспериментальных фактов, значение которых прямо связано с темой данной статьи.

а) В целом ряде кросскультурных исследований было обнаружено, что обращаться с весьма абстрактными логическими задачами можно конкретно, целиком игнорируя их природу и особенности. Например, в известном исследовании А.Р. Лурия (1974) неграмотные узбекские декхане, решая силлогизмы типа: «На Дальнем севере, где снег, все медведи белые. Новая Земля находится на Дальнем севере. Какого цвета там медведи?», решительно отказывались делать вывод из него. Как правило, они не могли принять большую посылку, заявляя, что никогда не были на севере и никогда не видели медведей; для ответа на этот вопрос, по их мнению, нужно обратиться к людям, которые были на севере и видели там медведей. Посылки силлогизма не имели для испытуемых всеобщего характера, а воспринимались как частные сообщения, воспроизводящие какое-то явление, но не носящие характера общего правила. Таким образом, декхане относились к целиком формальной задаче, допускающей определенное умозаключение независимое от содержания, как к эмпирическому описанию какой-либо ситуации, требующей проверки на соответствие реальности4.

б) Следующая группа экспериментальных фактов, хорошо соответствующая и обыденным наблюдениям, состоит в том, что задачи идентичные по математической форме своего решения весьма отличаются по трудности для решателей. Несколько разноплановых иллюстраций позволят продемонстрировать очень широкий, если не универсальный характер данного обобщения5.

Наиболее известным в этом ряду, безусловно, выступает феномен «косвенной» задачи. Успешность решения арифметических задач в одно действие школьниками начальных классов средней школы напрямую зависит от формулировки самой этой задачи: некоторые из них оказываются значительно более трудными для решения. Обычно это происходит в тех случаях, когда описанные в условии «предметные» процессы или действия не совпадают по содержанию с той арифметической операцией, которую надо произвести с числами, чтобы получить правильное решение (собственно, это и есть косвенная задача). Характерный результат получен Г.М. Капустиной (2000) на нормально развивающихся детях и детях с задержкой психического развития (ЗПР) (см. Табл. 1).

Табл. 1. Успешность решения детьми арифметических задач (в %)

Задачи

Испытуемые

(6 лет)

На дереве сидело пять птичек, к ним прилетело еще две. Сколько птичек получилось? (прямая)

На дереве сидело девять птичек, пять улетело. Сколько всего птичек осталось? (прямая)

На дереве сидели птички. Сначала улетело пять, потом три. Сколько всего птичек улетело?6 (косвенная)

Дети с ЗПР

80

45

10

Нормально развивающиеся дети

100

100

50

Приведенные количественные результаты показывают, что нормально развивающиеся дети решают косвенные задачи существенно хуже прямых. Для детей с ЗПР это отношение достигает 1 к 8.

Однако этим описываемый феномен не ограничивается. Еще более яркими являются случаи, когда дети, совершенно правильно решая задачу, неправильно записывают ее решение или выбирают для объяснения неадекватное арифметическое действие. В исследовании Г.П. Щедровицкого и С.Г. Якобсон (1962) ученикам первого класса предлагалась для решения задача «Коля должен сделать 8 флажков. Он сделал 4 флажка. Сколько флажков ему еще осталось сделать?». Задача прочитывалась два раза, после чего трое детей рассказывали классу ее условие. Учительница еще раз повторяла вопрос задачи. 16 учеников дали верный ответ: 4 флажка. На следующий вопрос – «Как узнать, сколько флажков осталось сделать Коле?» - эти дети ответили: «К 4 прибавить 4»; «К 8 прибавить 4»; «К 4 прибавить 4»; «Число 8 состоит из 4 и 4»; «Прибавлять 4 единицы к 4 единицам»; «К 4 прибавить еще 4, получится правильный ответ 8»; «Он сделал 4, ему осталось сделать 4» и т.д. Правильный ответ так и не был сформулирован.

По сути, аналогичный результат на детях более старшего возраста получен в исследовании В.Л. Ярощука (1957). В нем сопоставлялось решение «сюжетных» и «числовых» задач (при этом использовались задачи, требующие одного и того же по способу решения, на​пример, «304 тетради надо распределить между двумя классами так, чтобы один класс получил на 16 тетра​дей больше, чем другой» и «299 разделить на два числа так, чтобы второе было больше первого на 19»). Учеников четвертого класса средней школы просили решать задачи обоих видов. Сюжетные задачи были правильно решены в 73% случаев; числовые – в 56%7.

в) Анализ этих и сходных с ними примеров обычно приводит исследователей к выводу о несформированности или недостаточной универсальности (обобщенности) каких-либо интеллектуальных действий или операций, что и влечет за собой такие «парциальные» ошибки. Правильный способ решения оказывается слишком конкретным, привязанным к материалу отдельной задачи или их группы и не может быть перенесен с одних на другие. В качестве примера приведем точку зрения В.В. Давыдова (1972), который утверждал, что в обсуждаемых случаях решатели демонстрируют недостаточный уровень обобщения и абстрагирования («эмпирическое мышление»), что и не позволяет им вычленить существенные отношения во всех предложенных задачах и закономерно ведет к ошибкам. Предлагаемые рецепты преодоления подобных затруднений кажутся весьма логичными: необходимо наращивать операциональную «оснастку» мышления, формируя сравнения, обобщения, классификации и т.д. высокого уровня («теоретическое мышление» по В.В. Давыдову, «научные понятия» по Л.С. Выготскому или формальные операции по Ж. Пиаже).

К сожалению, эта популярная теоретическая позиция о ключевой роли интеллектуальных операций для успешного процесса решения задач не выдерживает прямой экспериментальной проверки. В.Ф. Спиридонов и В.Ю. Степанов (2005) провели следующее исследование. На первом этапе эксперимента производилась диагностика сформированности у испытуемых группировки операций, необходимых для преобразования и решения линейных уравнений; на втором – решение экспериментальных задач.

На стадии диагностики испытуемым (19 студентам-психологам РГГУ) предлагалось решить несколько арифметических примеров, уравнений и выполнить специальное задание по преобразованию уравнений. Все примеры были сконструированы на основе четырех аксиом, выделенных Ж. Пиаже (1969) для математических групп: композиции x+x`=y, y+y`=z; обратимости y-x=x`, y-x`=x; ассоциативности (x+x`)+y`=x+(x`+y`)=z, общей идентичной операции x-x=0, y-y=0, а также нескольких более простых групп операций. Затем испытуемым предлагалось для решения три экспериментальные задачи:

1) Мать, сын и дочь израсходовали вместе некоторую сумму. Причем мать и сын израсходовали вместе 22 рубля. Сын и дочь вместе 15 рублей. А мать и дочь вместе 20 рублей. Сколько израсходовал каждый из них в отдельности?

2) Имеются кролики и клетки. Если в каждую клетку посадить по одному, то один кролик останется без места. Если в каждую клетку посадить по два кролика, то одна клетка окажется пустой. Сколько кроликов и сколько клеток?

3) У мальчика столько сестер, сколько братьев, а у его сестры вдвое меньше сестер, чем братьев. Сколько братьев и сестер у мальчика?8

Если испытуемые не могли самостоятельно составить линейное уравнение или их систему, им предлагалось решить задачи методом подбора. Решения такого рода исключались из последующей обработки.

Всего было получено 57 протоколов решения. Успешность решения задачи №1 – 57,9 % (11 успехов из 19), задачи №2 – 21,1 % (4 из 19), задачи № 3 – 26,3 % (5 из 19)9.

По результатам диагностической части процедуры испытуемые разделились на две части: в группу1 попали те из них, кто продемонстрировал наличие равновесной группировки – в терминологии Ж. Пиаже, системы операций, необходимых для решения линейного уравнения – они сделали в диагностических заданиях не более одной ошибки (12 чел.), в группу2 – допустившие две и более ошибок в заданиях (7 чел.).

Как видно на Рис. 1, представители группы1 смогли успешно решить предложенные задачи посредством составления линейных уравнений в 52,8 % случаев, представители группы2 – в 4,7 % случаев (всего одна решенная задача на 21 протокол):

Полученная структура результатов целиком противоречит представлениям об определяющем вкладе операторных структур в успешное решение подобных задач: наличие равновесной группировки не позволяет предсказать положительный результат решения, а отрицательный результат не гарантирует ее отсутствия. Таким образом, наличие группировки операций по преобразованию и решению уравнений, является необходимым, но не достаточным условием успешного решения текстовых задач на составление линейных уравнений. То есть их отсутствие делает успешное решение невозможным, но их наличие его не гарантирует.

Этот вывод наталкивается на два возражения:

1) Испытуемые, не решившие задачи, не понимали их условия. Это предположение очевидным образом не соответствует полученным результатам: все испытуемые обеих групп, которым предлагалось решить задачи № 2 и № 3 методом подбора, успешно справлялись с этим заданием. Однако, даже зная численное значение ответа, они не могли составить правильное уравнение.

2) Методика эксперимента не является доказательной, так как, в явном виде проверяя наличие операций по преобразованию уравнений, игнорирует операции по их составлению на основании текста задачи. Этот аргумент также не представляется состоятельным. Подобные интеллектуальные операции (хотя фиксировать и использовать их не умеют даже профессиональные математики10) должны приводить на одной и той же выборке испытуемых к примерно одинаковому проценту правильных решений алгебраических задач, которые решаются уравнениями одного вида. Это также противоречит полученным результатам: успешность решения задачи № 1 более чем вдвое превосходит процент правильных решений задачи № 2 или № 3.

Очевидно, результаты данного эксперимента свидетельствуют в пользу существования каких-то дополнительных психологических механизмов, которые не являются интеллектуальными операциями: именно их и не хватило для успеха тем испытуемым, которые обладали равновесной группировкой, но не справились с предложенными проблемными ситуациями. Также представляется, что полученные экспериментальные аргументы могут быть применены ко всему множеству арифметических и алгебраических задач (по крайней мере, в рамках школьной программы).

2. Карта и территория

Попробуем разобраться, что же в действительности происходит в ходе решения текстовых задач, не претендуя выяснить, как же совершается сам этот процесс. Нас будет интересовать, работа каких психологических механизмов необходима, чтобы успешно справиться с задачами обсуждаемого типа.

Воспользуемся удобной метафорой, которая позволит четче высветить сущность механизмов решения. Метафора «карты и территории» была предложена А. Кожибским и широко использована Г. Бейтсоном (2000) для описания разноплановой психологической реальности (в первую очередь, процессов межличностной коммуникации). Территория сложена из объектов, которые обладают собственной «плотностью», «законами взаимодействия» и за счет этого «оказывают сопротивление». Их нельзя просто игнорировать или изменить по собственному произволу, поэтому приходится учитывать их свойства в своих планах и действиях. Карта является знаковой системой, которая каким-то образом описывает и представляет территорию, выступающую референтом, т.е. набором явлений и связей между ними, обозначаемых данной знаковой конструкцией. Таким образом, отношение карты к территории является референцией11.

Хотя карта и территория тесно связаны между собой, они – принципиально разнородные явления. Карту надо уметь создавать. Существуют определенные правила «картирования»: она не может быть целиком произвольной – в таком случае она перестанет быть картой и превратится в индивидуальный шифр. (Для процесса решения задачи это путь в тупик). Карта условна, изменения на ней не влияют на территорию, она может быть неверной в целом или содержать локальные ошибки, ею надо уметь пользоваться, поскольку она включает условные обозначения. Одной и той же территории могут соответствовать разные карты, причем их может быть достаточно много. Карты могут отличаться друг от друга степенью своей детализированности («масштабом»). Более мелкие объекты встроены в более крупные и исчезают или появляются на карте при изменении масштаба рассмотрения. Принципиально важно не путать карту и территорию, поскольку их смешение может привести к серьезным интеллектуальным затруднениям.

Используем этот ход мысли в анализе процесса решения задач.

Начнем с того, что к текстовой задаче нельзя относиться как к повествовательному тексту, просто описывающему какую-то реальную ситуацию. Такая задача целиком условна: поезда в ней движутся строго равномерно и прямолинейно, лыжники не устают, пробегая десятки километров, рабочие никогда не выпускают брак, вода в трубах не кончается и т.д. Причем, какие-то значимые условия или ограничения указаны прямо, а о других приходится догадываться по ходу дела (например, о том, что объем работы можно взять за единицу). Более того, «правила игры» таковы, что проверять задачу на «правильность» (решаемость, непротиворечивость, полноту условий и т.д.) не требуется12.

Необходимым шагом на пути к решению текстовой задачи выступает процесс референции, с помощью которого решатель на основании условий задачи должен произвести различение карты и территории, т.е. обнаружить и зафиксировать значимые элементы проблемной ситуации: какие предметы или процессы и их количественные показатели присутствуют в условии, как они связаны между собой, что дано и что нужно узнать и т.п. Назовем этот процесс референцией-1, а его результат – картой-1. Поскольку карта-1 строится средствами естественного языка, решатель фиксирует словами, открывающееся ему состояние дел. Возможны и иные направления картирования. При этом для разных по содержанию карт одной и той же задачи значимые элементы вполне могут не совпадать.

Отметим, что текст задачи сам по себе не является территорией, а только дает какое-то ее описание. Именно поэтому задача вполне может оказаться нерешаемой или противоречивой (это касается даже проблемных ситуаций из школьных учебников см. ниже).

Возможно, существуют задачи, которые решаются посредством карты-1. Однако чаще всего такой структуры недостаточно для решения. Чтобы справиться с большинством известных проблемных ситуаций, необходимо провести еще одно картирование: отталкиваясь от карты-1, произвести референцию-2 и построить карту-2 (см. Рис. 2). В более привычных терминах можно сказать, что на основании текста задачи решатель строит ее модель или у него появляется ее репрезентация (о различиях между этими понятиями и картой-2 см. ниже).

Референция-1 и 2 кардинальным образом отличаются друг от друга. Референция-2 – значительно более строгий и определенный процесс. Наиболее заметным он становится, когда решатель использует какую-либо знаковую систему, отличную от естественного языка. Решатель извлекает из карты-1 определенное содержание (значимое, если он движется в правильную сторону) и фиксирует его средствами этой знаковой системы, то есть с помощью каких-то специальных обозначений13. Все это приводит к появлению новых значений ключевых явлений задачи, которые оказываются определенными в рамках какой-то единой системы значений и таким образом связанными друг с другом. В менее явных, но принципиально аналогичных случаях извлечение из карты-1 совершается без использования дополнительных знаковых средств. Это маскирует реальную структуру решения иных типов задач (особенно, инсайтных). Сложность референции для решателя помимо всего прочего заключается в том, что обычно обе карты строятся в ходе решения параллельно.

Рис. 2. Морфология процесса решения текстовой задачи

В основе построения карты-2 лежит важная психологическая структура – интеллектуальный инвариант или переменная высокого порядка, которая и обеспечивает референцию-2 (Спиридонов, 2003, 2004). Мотивировка этого термина заключается в том, что за счет инварианта задача сохраняет свое единство, несмотря на самые разные допустимые трансформации и переформулировки (например, построение различных корректных уравнений или их систем). Значение этой психологической структуры чрезвычайно велико.

С одной стороны, она выполняет роль связки между картой и территорией. В случае традиционной географической карты в этом качестве выступают картографическая проекция, которая устанавливает зависимость между географическими координатами точек земного эллипсоида и прямоугольными координатами тех же точек на плоскости, и система определенных условных обозначений. В ходе решения задачи такую нагрузку несет интеллектуальный инвариант. Поэтому его обнаружение и использование позволяет решателю построить адекватную карту-2. Конечно, можно ошибиться, и решая правильно составленное уравнение, но это будет техническая ошибка, а не ошибка референции. Еще раз обратим внимание на ограниченный (обедненный и условный) характер территории, к которой апеллирует задача. Собственно, в этом и заключается возможность использования инварианта. Применение инварианта (или обнаружение его в учебной задаче, куда он предусмотрительно «заложен» ее авторами) – устойчивый «культурный» способ решения мыслительных задач. С другой стороны, переменные высокого порядка лежат в основании задач: разновидности проблемных ситуаций можно выделять на основании инвариантов, с которыми они связаны. Таким образом, задачи оказываются специализированными по своей базовой структуре, которую необходимо обнаружить и использовать для достижения успеха, и по процессам решения, которые с ней связаны.

Таким образом, процесс решения мыслительной задачи – создание карты-2 – организован как вторичная моделирующая система (термин Б.А. Успенского). Ее закономерности и выступают тут определяющими14. Суть дела состоит в том, что помимо прямо указанных или подразумеваемых в условии, по ходу решения возникают дополнительные («вторичные») значения терминов, тесно связанные между собой. При этом никаких однозначных интерпретаций исходных понятий не существует. Например, глагол «улетели» в задаче «про птичек» может обозначать арифметическое действие «вычитание», может – «сложение», а может быть и совсем незначимым для нахождения ответа. Собственно, в построении такой системы и заключается основной шаг к решению – оно также оказывается определенным в рамках этого целого.

Само понятие вторичной моделирующей системы (или метасистемы) возникло за пределами психологии. В трудах французских (Ф. де Соссюра, Р. Барта, М. Фуко, К. Леви-Строса и др.) и отечественных (Ю.М. Лотмана, И.А. Мельчука, Б.А. Успенского и др.) лингвистов и литературоведов были разработаны представления о системах высокого порядка, которые используют в качестве материала естественный язык и иные культурные реалии и организуют их в соответствии со своими законами, создавая новые значения и требуя дополнительных способов интерпретации. Скажем, К. Леви-Строс показал, что сложные мифологические построения «примитивных» народов могут быть описаны посредством бинарных оппозиций – «верх-низ», «вперед-назад», «мужское-женское» и т.п. – которые в совокупности составляют универсальную систему. Ее универсальность можно понимать двояко: с одной стороны, как применимость для описания самых разных конкретных мифов, то есть выявление их общей структуры и несводимость ни к одному из них, с другой стороны – как присутствие в бессознательном носителей культуры, где бытуют эти мифы. Такая система обладает и изрядными объяснительными возможностями, например, позволяя понять особые роли определенных персонажей в рамках мифологического сюжета (Леви-Строс, 1983). Подчеркнем еще раз очевидный надындивидуальный и неосознаваемый в большинстве случаев характер вторичных моделирующих систем.

Если посмотреть с подобной точки зрения на разворачивающийся мыслительный процесс, мы обнаружим, что в рамках складывающейся по ходу решения карты-2 формируются новые значения ключевых аспектов задачи – они постепенно оказываются увязанными в единую структуру и определенными друг через друга. Все это обеспечивает решателя дополнительными ориентирами для дальнейшего движения: система все строже и последовательнее «подсказывает» возможные способы действия, помогая различать осмысленные и ошибочные шаги. Однако жесткости этой новой конструкции (особенно на ранних стадиях процесса решения), конечно же, недостаточно, чтобы вообще избежать ошибок.

Чаще всего в качестве основания для построения карты-2 в случае анализируемых разновидностей задач выступают разноплановые понятия. Однако эта психологическая структура выступает не в качестве формы обобщения, а как способ организации и представления различного содержания, являясь своеобразной «моделью для сборки»15.

Например, понятие функции /y=f(x)/ играет ключевую роль в построении карты-2 в ходе решения текстовых задач по алгебре (по крайней мере, в пределах школьной программы). В условиях таких проблемных ситуаций можно обнаружить связанную пару величин, которая не определена количественно и не может быть непосредственно вычислена. Скажем, в задаче «на автостоянке находятся машины – автомобили и мотороллеры. У них вместе 100 колес и 40 рулей. Сколько тех и других машин?» такой парой является соотношение между количеством мотороллеров (х) и количеством автомобилей (40-х). Собственно, это и есть «минимальная» функция (здесь: y=40-х). Из подобных и более сложных частей (скажем, 2х – количество колес у мотороллеров) и конструируется уравнение, с помощью которого решается задача. Безусловно, уравнение и в целом является функцией, но зафиксированной в более крупном масштабе: меньшие конструкции «вложены» в нее. Принципиально важно, чтобы между парой обсуждаемых величин в условии было задано как минимум две связи (в приведенном примере это сумма колес и сумма рулей). Если такое правило выполняется, то в задаче имеется объективное основание для построения уравнения. Если связь всего одна, для него не хватит данных.

Безусловно, приведенным локальным примером нельзя проиллюстрировать все многообразие инвариантов-понятий, связанных с алгебраическими задачами. Однако принцип их действия и роль в создании карты-2 представляются едиными.

В значительной степени аналогичные, хотя и значительно более локальные объяснительные конструкции, предложены В. Кинчем для повышения эффективности решения некоторых видов текстовых алгебраических задач (Weaver, Kintsch, 1992) и Ф. Джонсон-Лэйрдом для описания дедуктивных рассуждений (Johnson-Laird, 2001). И «алгебраические схемы» Кинча, и «ментальные модели» Джонсон-Лэйрда позволяют решателю в значительной степени наглядно представить пропозициональное содержание, выявляя систему отношений между элементами проблемной ситуации. При этом обе конструкции обладают чертами «карты»: опираются на специальную знаковую систему, создают в ее рамках новые значения элементов посредством референции и т.д.

Значимую роль в процессе решения играют и средства референции. Они призваны помочь решателю обнаружить инвариант и осуществить референцию-1 и 2. Наиболее известными в этом ряду являются разноплановые эвристики (см., напр., Пойа, 1961, Ильясов, 1992, Спиридонов, 2000). Они, не гарантируя достижение правильного ответа, обеспечивают определенную свободу в работе с проблемной ситуацией, поддерживая, по выражению Л.Н. Ланды, «самонаведение» на решение. Эвристики достаточно универсальны, т.е. независимы от содержания конкретной задачи и потому применимы для решения самых разных проблемных ситуаций. Например, аналитические эвристики (анализ цели, анализ условий, анализ условий с точки зрения цели и др.) тесно связаны с различением значимых и незначимых элементов задачи, помогая выделению объектов для карт-1 и 2. Известны и другие виды интеллектуальных средств, более тесно связанные с материалом задачи и потому имеющие локальное применение (например, приемы типа: выразите через единицу времени, расстояния, которые проходят все движущиеся в задаче объекты).

Подобные средства необходимы, т.к. референция не является автоматической, но требуют серьезных усилий. Эвристики и другие психологические средства позволяют сделать эти процессы в той или иной степени управляемыми и контролируемыми. К числу наиболее заметных препятствий, осложняющих проведение референции, следует отнести:

-​ реальную многозначность условий задачи, допускающих весьма различные толкования;

-​ большое количество разноплановых условий задачи или, наоборот, минимум наличной информации;

-​ феномен маскировки условий16.

Описанная (а, скорее, лишь намеченная) теоретическая модель позволяет систематизировать разноплановые факты, с которых мы начали обсуждение проблемы. Приведенные ошибки решателей, зафиксированные в разных исследованиях, оказываются вполне закономерными. Так, попытка проверить соответствие текстовой задачи реальной ситуации свидетельствует о смешении карты и территории, вычитание улетающих птичек вместо их сложения говорит о проблемах референции-1, а невозможность верно произнести или записать арифметическое действие, ведущее к уже полученному правильному ответу, – о трудностях референции-217, существенная разница в успешности решения однотипных задач говорит о том, что однотипными они являются лишь для экспериментатора, а для испытуемых идентичные инварианты пока еще «не видны» сквозь маскировку, и их обнаружение представляет непреодолимые сложности.

Модель также позволяет прояснить и несколько интересных дополнительных вопросов. Скажем, в ее рамках становится понятно, что разные уравнения, построенные для одной и той же задачи, соотносятся между собой, как разные карты одной и той же территории. Причем, их единство (которое можно назвать референциальным, поскольку оно обеспечивается отсылкой к разным, но связанным между собой, свойствам единого объекта) при всех содержательных отличиях обеспечивается инвариантом, лежащим в основании данной задачи. В Таблице 2 предпринята попытка зафиксировать связь между уравнениями, построенными для одной и той же проблемной ситуации: все они опираются на ее единые функциональные и количественные соотношения. Примеры уравнений, включенных в Таблицу, выбраны достаточно случайно. Бесконечное количество возможных корректных уравнений для одной и той же задачи можно получить, изменяя масштаб ее рассмотрения (скажем, пренебрегая удобством, за Х в задаче из Таблицы 2 можно взять 1/132 времени первого поезда в пути или 4,244 расстояния между городами).

Таблица 2. Связь линейных уравнений одной текстовой задачи

Скорость товарного поезда 38 км в час, а пассажирского 57 км в час. Первый вышел со станции А на 7 часов раньше второго, но второй обогнал его и пришел на станцию В двумя часами раньше. Каково расстояние между городами А и В?

Х – расстояние между городами

Х/38 - Х/57 = 9,

Х=1026 км

Х – время первого поезда в пути

38Х=57(Х-9),

Х = 27 ч

Х – время второго поезда в пути

57Х=38(Х+9),

Х = 18 ч

Х – время второго поезда в пути к моменту встречи

57Х=38(Х+7),

Х=14 ч

Х – время второго поезда за последнюю часть пути

57Х=38(Х+2), Х=4ч

Неизвестны t1 и t2

1) t1 - 9 ч = t2

2) v1 / v2 = 2/3

3) s/v1 - s/v2 = 9

Неизвестны t1 и t2

1) t1 - 9 ч = t2

2) v1 / v2 = 2/3

3) v1t1 = v2(t1 – 9)

Неизвестны t1 и t2

1) t1 - 9 ч = t2

2) v1 / v2 = 2/3

3) v2t2 = v1(t2 +9)

Неизвестны t1 и t2

1) t1a - 7 ч = t2a

t1b - 2 ч = t2b

2) v1 / v2 = 2/3

3) v2t2a = v1(t2a +7)

v2t2b = v1(t2b +2)

Помимо этого модель фиксирует определенную границу корректности и осмысленности текстовых задач, которая связана с разрешающими возможностями референции. Если для задач типа «В магазин привезли 100 кг яблок по 30 руб. за килограмм и 150 кг груш по 40 руб. за килограмм. Всего привезли 300 кг фруктов. Сколько стоят все привезенные фрукты?» или «Слон весит больше одной тонны, а кит больше двух. Кто кого переборет?» достаточно просто показать невозможность построения карт – противоречивость или неопределенность территории бросается в глаза. То с задачами типа «Рабочий кружок, состоящий из двадцати взрослых и подростков, устроил сбор денег на покупку книг, причем каждый взрослый внес по 3 руб., а каждый подросток – по 1 руб. Сколько было в этом кружке взрослых и подростков, если всего было собрано 35 руб.?» или «Отцу 32 года, сыну 5 лет. Через сколько лет отец будет в 10 раз старше сына?» дело обстоит сложнее (все приведенные примеры извлечены из (Фридман, 2001; Перельман, 1978). Корректно составленное уравнение для первой из них /3(20-Х)+Х=35/ приводит к ответу Х = 12,5 подростков, а для второй /32+Х = 10 (5+Х)/ – к ответу Х = -2 года. Дробное количество людей в первом случае не удаются интерпретировать относительно какой бы то ни было связки карты и территории: задача оказывается некорректной. Однако во втором случае ответ означает, что требование выполнялось два года назад – референция возможна, и задача сохраняет осмысленность. Представляется, что анализ связи между картой и территорией и особенностей самой карты обычно и лежит в основании доказательства нерешаемости задачи вследствие ее противоречивости или иных вариантов некорректного строения. Однако принципы такого анализа лежат далеко за пределами «школьной» математики и темы нашего обсуждения.

Напоследок необходимо соотнести использованную нами понятийную связку «карта-территория» с более традиционной – «модель-объект», чтобы зафиксировать некоторые важные нюансы. Конечно, карта – одна из разновидностей моделей. Однако в отличие от других представителей этого класса она обладает рядом нетривиальных особенностей:

·​ обеспечивает построение связанных между собой новых значений элементов, составляющих задачу;

·​ сочетает в себе пропозициональные (знаковые) и образные (опирающиеся на наглядное подобие) способы кодирования объекта моделирования;

·​ за счет изменения масштаба допускает сосуществование объектов разной «размерности», вложенных друг в друга наподобие матрешек;

·​ может совпадать по своей локализации с территорией, быть в буквальном смысле «размазанной» по ней (Гибсон, 1988), что принципиально важно для постановки и решения некоторых видов задач (например, плохо определенных поведенческих);

·​ предоставляет возможность работы с противоречием в ходе решения. Безусловно, модель, содержащая противоречие, в обычном случае не выдерживает критики и должна быть отброшена. Однако существуют целые классы проблемных ситуаций, которые строятся на основе это явления (например, изобретательские задачи, головоломки, семейные конфликты, социально-экономические проблемы и т.д.). Удобнее всего фиксировать такое положение дел, выделяя в структуре проблемной ситуации один из ее элементов, который в соответствии с условиями должен обладать взаимоисключающими свойствами (Альтшуллер, 1991; Дункер, 1965). Не вступая в старую дискуссию о том, где локализовано противоречие (в реальности или в человеческом мышлении), отметим, что основанием для решения в таком случае выступает карта-2, построенная с использованием противоречия в качестве интеллектуального инварианта, то есть, по сути, модель-противоречие (Спиридонов, 2003).

Заключение

Памятуя о том, как легко неудачные психологические идеи становятся рецептами для обучения (стандартная школьная подача знаний – из их числа), все-таки рискнем сформулировать некую «практическую значимость» результатов нашего обсуждения.

Предложенная теоретическая модель направлена не только на лучшее описание процессов решения, но и на более глубокое понимание весьма непростого культурного феномена – текстовой задачи по арифметике или алгебре. Существуя на границе «чистой» и «прикладной» математики18, на стыке понятия и его референта, на взаимодействии формальных и психологических структур, она конденсирует в себе разноплановые возможности для развития индивидуального мышления (в своих развитых формах, безусловно, «операционального», «теоретического» или «понятийного»). Представляется, что традиционное использование этого вида задач в школьном обучении математике, не учитывающее их реальную природу и строение (а соответственно, сложность и состав процессов решения), абсолютно индифферентно к такому развитию. К сожалению, обучение и развитие в таком случае совершаются как бы в разных плоскостях, почти не задевая друг друга. Одним из контрвариантов, реализующих известную максиму Л.С. Выготского о том, что обучение ведет за собой развитие, применительно к текстовым задачам, выступает научение процессам референции, в явном виде разъяснение логики построения и чтения «карт» и привитие правил грамотной интеллектуальной работы в рамках вторичных моделирующих систем.

Литература

1.​ Альтшуллер Г.С. (1991) Найти идею. – Новосибирск, Наука.

2.​ Бейтсон Г. (2000) Экология разума. - М., Смысл.

3.​ Гибсон Дж. (1988) Экологический подход к зрительному восприятию. – М., Прогресс.

4.​ Давыдов В.В. (1972) Виды обобщения в обучении. – М., Педагогика.

5.​ Дункер К. (1965) Качественное (экспериментальное и теоретическое) исследование продуктивного мышления // Психология мышления. – М., Прогресс, с. 21-85.

6.​ Ильясов И.И. (1992) Система эвристических приемов решения задач. – М., МГСИ.

7.​ Капустина Г.М. (2000) Характеристика элементарных математических знаний и умений де​тей с задержкой психического развития шестилетнего возраста // Детская патопсихоло​гия. Хрестоматия / сост. Белопольская Н.Л. – М., АСТ, с. 87-114.

8.​ Левин Ю.И. (1973) Семантическая структура русской загадки // Труды по знаковым систе​мам. Вып. 6. – Тарту, Издательство Тартуского университета, с. 166-190.

9.​ Леви-Строс К. (1983) Структурная антропология. – М., Наука.

10.​ Леонтьев А.Н. (1965) Проблемы развития психики. – М., Политиздат.

11.​ Лурия А.Р. (1974) Об историческом развитии познавательных процессов: Эксперимен​тально-психологическое исследование. – М., Наука.

12.​ Мирошин Н.В., Баскаков А.В., Михайлов П.А. и др. (2002) Математика: сборник задач с ре​шениями для поступающих в вузы / под ред. Говорова В.М., Мирошина Н.В. – М., Астрель.

13.​ Перельман Я.И. (1978) Занимательная алгебра. М., Наука.

14.​ Пиаже Ж. (1969) Избранные произведения. – М., Педагогика.

15.​ Пойа Д. (1961) Как решать задачу. 2-е изд., – М., Издательство иностранной литературы.

16.​ Спиридонов В.Ф. (2003) Механизмы решения задач и проблем в свете «экологиче​ского» подхода // Культурно-историчес​кий подход и про​блемы творчества. М., РГГУ, 2003. с. 391-402.

17.​ Спиридонов В.Ф. (2004) Функциональная организация процесса решения мыслительных за​дач // Воображение и творчество в образовании и профессиональной деятельности. М., Ладога-2000, 2004. с. 277-298.

18.​ Спиридонов В.Ф. (2000) Эвристики творческого мышления. – М., РГГУ, 2000.

19.​ Спиридонов В.Ф., Степанов В.Ю. (2005) Анализ механизмов решения регулярных задач // Психология. Журнал Высшей школы экономики. 2005, т. 2, № 2, с. 126-131.

20.​ Фридман Л.М. (2001) Основы проблемологии. – М., Синтег.

21.​ Щедровицкий Г.П., Якобсон С.Г. (1962) К анализу процессов решения простых арифметиче​ских задач. Сообщения 1-3. // Доклады АПН РСФСР, № 2 - 4.

22.​ Ярощук В.Л. (1957) Психологический анализ процессов решения типовых арифметиче​ских задач // Известия АПН СССР. вып. 80.

23.​ Johnson-Laird P.H. (2001) Mental models and deduction // Trends in Cognitive Science. Vol. 5, № 10, October. pp. 434-442.

24.​ Kotovsky K., Hayes J.R., Simon H.A. (1985) Why are some problems hard? Evidence from the tower of Hanoi // Cognitive Psychology. 17, pp. 248-294.

25.​ Oléron P. (1963) Les activités intellectuelles // Fraisse P., Piaget J. (Eds.) Traité de psychologie experimentale. (Vol. VII «L’intelligence»), Paris: PUF. pp. 1-63.

26.​ Weaver C.A., Kintsch W. (1992) Enhancing Students' Comprehension of the Conceptual Structure of Algebra Word Problems // Journal of Educational Psychology. Vol. 84 (4), December, pp. 419-428.

1 Мы позволим оставить без определения понятие «текстовой задачи», пришедшее в психологию из школьной дидактики, поскольку, как будет ясно из дальнейшего, разнообразие таких задач весьма велико, а объединяющие их признаки – чисто внешние.

2 Не в последнюю очередь уровень их популярности связан и с невысокими требованиями, которые они предъявляют к математической грамотности психологов-исследователей.

3 Задача – это цель, поставленная в определенных условиях, препятствующих ее достижению.

4 Автору неизвестны аналогичные экспериментальные результаты, полученные на текстовых задачах по математике. Но здесь, конечно, сразу вспоминается Буратино, который отказывался отдавать кому бы-то ни было яблоки, решая задачу «У вас есть 5 яблок, сколько останется, если вы отдадите 2?». Подобными же историями полны начальные этапы обучения математике в детском саду и школе.

5 Для некоторых других видов задач оно установлено в работах: Kotovsky K., Hayes J.R., Simon H.A., 1985; Oléron P., 1963.

6 В таблице приведены условные примеры соответствующих задач. На самом деле разновидностей косвенных задач существует великое множество.

7 По данным автора исследования, это различие статистически значимо.

8 Все три задачи извлечены из сборников дополнительных заданий для учеников 7-8 классов средней школы и решаются с помощью линейных уравнений.

9 Это еще один пример разной сложности задач математически близких друг другу: различия в успешности решения задач №1 и №2 составляют 2,7 раза, а №1 и №3 – 2,2 раза.

10 «Как правило, основная трудность при решении текстовой задачи состоит в переводе ее условий на математический язык уравнений. Общего способа такого перевода не существует» (Мирошин Н.В., Баскаков А.В., Михайлов П.А. и др., 2002. с. 206).

11 Референция - соотнесение слова (знака) с объектами (сущностями), о которых делается высказывание.

12 Конечно, это касается лишь «школьных» или «учебных» задач.

13 Скажем, для задачи «На протяжении 155 м уложено 25 труб длиной по 5 и 8 м. Сколько тех и других труб уложено?» этот процесс может выглядеть следующим образом: пусть х – количество пятиметровых труб, тогда (25 – х) – количество восьмиметровых, 5х – общая длина пятиметровых труб, 8(25-Х) – общая длина восьмиметровых и т.д.

14 Удивительно, но отгадывание народных загадок было проанализировано с подобной точки зрения (Левин, 1973), а значительно более широко распространенные мыслительные задачи так и не привлекли внимания исследователей.

15 Термин Х. Кортасара. В философии подобные конструкции традиционно именуются категориями.

16 Как свидетельствуют вышеприведенные количественные результаты эксперимента В.Ф. Спиридонова и В.Ю. Степанова задача «про братьев и сестер» оказалась в 2,2 раза труднее, чем задача о «семье, тратившей деньги», несмотря на то, что обе решаются линейными уравнениями. Более того, о реальной трудности «братьев и сестер» говорит и появление в экспериментальных протоколах некорректных тавтологических уравнений, т.е. грубейшие ошибки референции-1 и 2. Одно из возможных объяснений состоит в том, что в этой задаче реальное соотношение мальчиков и девочек в семье замаскировано – в условии нет ни одной численно определенной связи между ними.

17 Получается, что дети верно пересчитывают конкретные объекты или их образы, но не могут построить карту-2, т.е. верно записать эту процедуру средствами другой знаковой системы – арифметики.

18 Как ни странно это звучит для арифметических задач.

В.Ф. Спиридонов - кандидат психологических наук, доцент, Институт психологии РГГУ, Москва.

Комментарии

Комментариев пока нет – Вы можете оставить первый

, чтобы комментировать

Публикации

  • Нейропсихология и школа
    15.08.2021
    Нейропсихология и школа
    В современной детской коррекционной нейропсихологии разработана система помощи детям, которая включает три звена: нейропсихологическую тестовую диагностику, методы «следящей диагностики» и методы коррекционной работы...
  • Чем удивлял 15-й Саммит психологов? Рефлексия и действия
    11.06.2021
    Чем удивлял 15-й Саммит психологов? Рефлексия и действия
    Четыре дня Санкт-Петербургского саммита психологов были наполнены мастер-классами и лекциями, дискуссиями и беседами специалистов. 96 мастерских состоялись в пяти аудиторных, двух онлайн и одной смешанной (офлайн и онлайн) параллелях…
  • Подборка материалов о депрессии: профилактика, диагностика, помощь
    10.10.2017
    Подборка материалов о депрессии: профилактика, диагностика, помощь
    По данным Всемирной организации здравоохранения, сейчас более 300 миллионов человек в мире живут с депрессией. За 10 лет количество заболевших выросло на 18%. Нередко люди не обращаются за помощью не только потому, что опасаются стигматизации, но и потому, что не придают значения симптомам. Предлагаем Вашему вниманию тематическую подборку статей, в которых специалисты рассказывают о симптомах депрессии, рекомендациях родственникам заболевших людей, делятся опытом помощи при депрессивных расстройствах...
  • Стрельба в школе. Тематические материалы
    06.09.2017
    Стрельба в школе. Тематические материалы
    В первые школьные дни случилась трагедия - в Ивантеевке ученик разбросал дымовые шашки в классе и выстрелил в учительницу из пневматического оружия. Шок, недоумение, негодование... О проблеме подростковой агрессии и аутоагрессии рассказывают специалисты...
  • Разрыв между умными и глупыми нарастает
    28.06.2017
    Разрыв между умными и глупыми нарастает
    Чиновники из министерства образования России искренне заблуждаются, думая, что слепое заимствование некоторых западных подходов способно что-то привнести в нашу школу, полагает Людмила Ясюкова - кандидат психологических наук, заведующая лабораторией социальной психологии НИИ комплексных социальных исследований СПбГУ, психолог-консультант, автор книг «Закономерности развития понятийного мышления и его роль в обучении», «Психологическая профилактика проблем в обучении и развитии школьников»...
  • Условия для успешной деятельности психолога в школе
    24.05.2017
    Условия для успешной деятельности психолога в школе
    Хочу поделиться успешным опытом работы психологом и предлагаю вашему вниманию итоги 30-летней практической работы в школе, детском доме, ППМС центре, интернате, детском саду, педагогическом колледже.Как создать такую атмосферу в школе, систему, чтобы работа психологов была максимально эффективной? Психолог в любой ситуации может ускорить поиск решения, выработки стратегии и тактики разрешения проблемы. Необходима программа работы психологической службы, объединяющая всех участников образовательного процесса...
  • О границах компетентности и возможностей педагога-психолога
    23.05.2017
    О границах компетентности и возможностей педагога-психолога
    Последний случай из собственной практики снизил профессиональную мотивацию, заставил задуматься о правовой защищённости педагога-психолога. Учащийся в возрасте 11 лет, состоявший на учёте у психиатра с серьёзным психическим заболеванием, находившийся на надомной форме обучения, покончил жизнь самоубийством. Ответственность легла на плечи школы, которая оказывает образовательные услуги, которые ребёнку были предоставлены с учётом особенностей развития. Как быть в такой ситуации? Где искать защиту?...
  • О чем трубят «Синие киты»
    16.05.2017
    О чем трубят «Синие киты»
    В отечественной практике широко применяется лечение детей до 15 лет в закрытых стационарах. По официальной статистике сроки госпитализации составляют, в среднем, до 60-70 дней. Круглосуточное наблюдение гарантирует безопасность жизни ребёнка (на время нахождения в стационаре), но может приводить к формированию у него экстернального локуса контроля. Отсутствие активной вовлеченности родителей в процесс преодоления трудностей взаимодействия с «проблемным» ребёнком приводит к формированию у них обученной беспомощности...
  • Сдать ЕГЭ и не умереть. Еще раз о подростковой депрессии
    27.02.2017
    Сдать ЕГЭ и не умереть. Еще раз о подростковой депрессии
    Во втором учебном полугодии в моем кабинете начинается сначала слабый, а к весне усиливающийся поток родителей выпускников и самих подростков с жалобами на слабость, внезапно появившуюся слезливость, непонятные головные боли. Дети, которые до сих пор радовали родительские сердца упорным постижением всяческих наук, перестают интересоваться чем бы то ни было, ложатся на диван, отворачиваются к стене и перестают выходить на связь...
  • «Психологическая газета»: интернет-издание для психологов
    11.02.2017
    «Психологическая газета»: интернет-издание для психологов
    «Психологическая газета» - старейшее периодическое издание для психологов. Вы читали её в печатном виде с октября 1995 года. С января 2006 года газета стала интернет-изданием, доступным огромному числу читателей по всему миру. Регулярно публикуются статьи, интервью, информация о профессиональных конференциях и событиях в мире практической психологии, научной психологии...
  • Стандартно о нестандартном
    28.12.2016
    Стандартно о нестандартном
    Ежегодные выступления В.В. Путина являются событиями, значимыми для всех сфер жизни страны, поскольку в них отражено их настоящее и планируется ближайшее будущее. Задача этой статьи - не обвинить кого-то, а напротив, защитить. Защитить школу от той беды, с которой она постоянно сталкивается, чтобы она не обрушилась на неё с новой силой. А бедой я называю стремление развивать у детей нестандартное мышление...
  • 11-й Санкт-Петербургский саммит психологов
    02.08.2016
    11-й Санкт-Петербургский саммит психологов
    Уже сейчас можно подавать заявку на участие в новом Саммите психологов! Он состоится 4-6 июня в Санкт-Петербурге, тематика мероприятий Саммита охватывает все сферы применения практической психологии: образование, здравоохранение, социальную сферу, бизнес...
Все публикации

Хотите получать подборку новых материалов каждую неделю?

Оформите бесплатную подписку на «Психологическую газету»